Додаток 4. Геометрична прогресія

УРОК № 54

Тема уроку. Геометрична прогресія.

Мета уроку:

навчальна :   домогтися засвоєння учнями: означення геометричної про­гресії, відповідної термінології (знаменник геометричної прогресії), її рекурентної формули та основних властивос­тей геометричної прогресії (включаючи характеристичну властивість).

розвивальна : Виробити вміння: відтворювати зміст вивче­них понять, а також використовувати їх для розв'язування задач, що передбачають виділення геометричної прогресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули геометричної прогресії, а також використання її властивостей.

виховна : виховувати інтерес, комунікативні якості роботи, навички колективної та самостійної роботи.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 33., картки з прикладами.

Епіграф

« Немає жодної галузі математики, якою б абстрактною вона не була, котра коли-небудь не виявиться застосовною до явищ дійсного світу»

                                                                                М.І.Лобачевський

Хід уроку

I. Організаційний етап

Створення робочої атмосфери на уроці:

ü   перевірка готовності робочого місця;

ü   спільне вироблення правил спілкування;

ü   знайомство зі структурою уроку;

II. Перевірка домашнього завдання

Учитель збирає зошити з домашньою самостійною роботою на перевірку.

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

“Прогресіо” – це рух впред”      

Вступне слово вчителя.  Найціннішим є використання набутих знань у життєвих ситуаціях. Перша умова, якої треба дотримуватися в математиці, – це бути точним. Друга – бути чітким, і  наскільки можливо, простим.                                  Отже, ми сьогодні з вами на уроці просто, чітко і з легкістю засвоємо знання з теми:    «Геометрична прогресія»

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Історичні відомості.(учень)

Історична довідка:   Слово «прогресія» латинського походження «progression”  і означає «рух уперед»( як і слово «прогрес»). Вперше цей термін як математичний вживається у працях римського вченого Боеція в Ѵ ст..Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на стільки третій одержав від другого і т.д. У цій задачі йдеться про арифметичну прогресію, сума перших п’яти членів якої дорівнює 100.

Коли маленькому Карлу Гаусу було 9 років,вчитель задав хлопчикам  задачу, щоб вони порахували суму натуральних чисел від 1 до 40 включно. Через одну хвилину Гаус дав правильну відповідь,що сума чисел в кожній парі дорівнює 41, а таких пар 20, тому шукана сума дорівнює 41·20=820.

Усні вправи

1.   Знайдіть:

1)   значення функції, заданої формулою у = 3х⁵ при х = 0; 1; -1;

2)   при якому значенні аргументу значення функції у = х² – 3х + 2 дорівнює 0; 2; -2;

3)   при яких значеннях аргументу значення функції у = 1-2х додатні; від'ємні.

2.   Спростіть вираз:

1) (2³*2⁵)/(2^-2*(2³)³);              2) x^n-1/xⁿ;                      3) 3^п-1 ∙ 3^п.

3.   Розв'яжіть рівняння:

1) b² = 3;                       2) x³ = 27;                    3) q⁶ =1/64.

4.   Послідовність (х_п) задана формулою х_n = 81 ∙ 3^1-n. Знайдіть:
1) х₁, х₂, х₃;                           2) відношення  x₂/x₁, x₃/x₁, x_n/x_n-1.

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Означення геометричної прогресії. Знаменник геометричної прогресії.

2.   Рекурентна формула геометричної прогресії.

3.   Властивості геометричної прогресії:

1) характеристична властивість;

2) добутки двох членів скінченної геометричної прогресії, рівно від-далених від її кінців.

Опорний конспект № 33

Геометричною прогресією називається послідовність від­мінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з друго­го, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... — геометрична прогресія, бо а2 = а1 ∙ 3;       а3 = а2 ∙ 3; а4 = а3 ∙ 3; ... . (3 — знаменник цієї про­гресії).

Рекурентна формула геометричної прогресії

Якщо (bп) — геометрична прогресія, то bn+1=bnq, де bп — п-й член; q — знаменник геометричної прогресії. З рекурентної формули випливає: q=bn+1/bn

Властивості геометричної прогресії:

а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з дру­гого: b2n=bn-1*bn+1 —характеристична властивість;

б) якщо (bп) — скінченна геометрична прогресія, то b1 ∙ bn = b2 ∙ bn-1 = b3 ∙ bn-2 = const (b1 і bn — крайні члени цієї прогресії).

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   За означенням перевірте, чи є геометричною прогресією по­слідовність:

а) степенів числа 2 з цілими додатними показниками — 1; 2; 4; 8; 16; ...;

б) кубів натуральних чисел — 1; 8; 27; 64; ... .

2.   Укажіть перший член та знайдіть знаменник геометричної про­гресії:

1) 1; -5; 25; ...;             2) -6; -6; -6; ...;    3) 9; 3; 1; ...;

4) 7;7/2;7/4; ...;            5) -3; 3; -3; ... .

3.   Знайдіть другий і третій члени геометричної прогресії (b_п), якщо:

1) b₁ = 3, q = 2;            2) b₁ = 5, q = -1.

Письмові вправи

Для роботи на уроці роздатковим матеріалом слугують приклади розв'язування завдань, які вони можуть використати і вдома.

Приклад1

 Перший член геометричної прогресії дорівнює 27, а її знаменник рівний 1/3. 
Знайти шість перших членів геометричної прогресії.

Розв'язання: Запишемо умову задачі у вигляді
 b₁=27, q=1/3
Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії
 b_n=b₁*q^n-1
На її основі знаходимо невідомі члени ряду
 b₂=b₁*q^2-1=27*(1/3)=9
 b₃=b₁*q^3-1= b₂*q=9*(1/3)=3
 b₄=b₁*q^4-1= b₃*q=3*(1/3)=1
 b₅=b₁*q^5-1= b₄*q=1*(1/3)=1/3
 b₆=b₁*q^6-1= b₅*q=(1/3)*(1/3)=3
Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія матиме вигляд

 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9…

Приклад 2. Дано три перших члени геометричної прогресії : 6; -12; 24.
Знайти знаменник та сьомий її член.

Розв'язання: Обчислюємо знаменник геометричної прогресії виходячи з його означення
q=b_n+1/b_n=-2
Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої рівний -2. Сьомий член обчислюємо за формулою
 b₁=b₁*q⁶=b₁₊₂*q^6-2=b₃*q⁴=24*(-2)=384
На цьому задача розв'язана.

Приклад 3. У геометричній прогресії {b_n} задано двома членами ряду . b_n=28, b₆=8
Знайти десятий член прогресії.

Розв'язання: Запишемо задані значення через формули
 b₂=b₁*q=128, b₆=b₁*q⁵=8
За правилами потрібно було б знайти знаменник а потім шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо
 b₁₀= b₁*q⁹
Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій з вхідними даними. Поділимо шостий член ряду на другий, в результаті отримаємо
 b₆/ b₂=(b₁*q⁵)/(b₁*q)=q⁴=8/128
Якщо отримане значення помножити на шостий член, то отримаємо десятий
 b₆=b₁q⁵*q⁴= b₁q⁹ = 8*(8/128)=1/2
Таким чином для подібних задач за допомогою нескладних перетворень в швидкий спосіб можна отримати правильний розв'язок.

Приклад 4. Геометричну прогресію задано рекурентними формулами
 b₁+b₃=-5/8, b₁+b₄=5/16
Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.

Розв'язання: Запишемо задані рівняння у вигляді формул

{b_1q+b₁q³=-5/16, b₁+b₁q²=-5/8

Та виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше
(q*(b₁+b₁*q²))/b₁+b₁q²=(-5/16)/(5/8)=-5/16*8/5=-1/2→q=-1/2
Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння
b₁+b₁q²=b₁(1+(-1/2)²)=b1*5/4=5/8
b₁*5/4=-5/8*4/5=-1/2
Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії
 b₂=b₁*q=-1/2*(-1/2)=1/4
 b₃=b₂*q=1/4*(-1/2)=-1/8
 b₄=b₃*q=-1/8*(-1/2)=1/16
 b₅=b₅*q=-1/32*(-1/2)=1/64.
b₅=b₅*g=-1/32*(-1/2)=1/64.
Оскільки знайти суму в даному випадку не складає великих зусиль то, оминаючи прості пояснення, зводимо всі доданки під спільний знаменник
S₆=(-32+16-8+4-2+1)/64=-21/64
В загальному випадку, при знаходженні суми знакозмінних рядів слід виділяти їх додатну частину та від'ємну, та знайти окремо їх суми за наведеними вище формулами. Далі знайдені значення додати.

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.     Яка послідовність називається геометричною прогресією? На­ведіть приклади.

2.     Чому дорівнює відношення двох сусідніх членів геометричної прогресії, починаючи з другого?

3.     Як задати геометричну прогресію?

VIII.   Домашнє завдання

1.   Вивчити означення та властивості геометричної прогресії, роз­глянуті на уроці (див. опорний конспект № 33).

2.   Розв'язати вправи, аналогічні за змістом та рівнем складності виконаним на уроці.

Тестові завдання

1.   Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією?
а) 2; 6; 18; 54;   б) 80; 40; 20; 5; в) 4; 8; 32; 64;    г) 2; -10; 50; 250.

2.   Знайдіть знаменник геометричної прогресії (b_п), якщо b₅ =7/15,

b₆ =1/3.

а)3/7;                            б)5/7;                            в)7/5;                           г)7/3.

3.   Дев'ятий член геометричної прогресії дорівнює 12, а знаменник
дорівнює 3. Знайдіть десятий член геометричної прогресії.

а) 15;                            б) 36;                            в) 39;                         

  г) 108.

3.   Повторити схему розв'язування задач складанням математич­ної моделі.